Titanium Backupは、Android 5.0 Lollipopに対応したバージョンがテストビルドとしてapkファイルが配布されており正常に動作していましたが、正式版としてGoogle Playに公開されました。
今バージョンには、その他にもGoogleドライブから端末にバックアップデータを同期させるときに強制終了するバグ修正や、Google Playニューススタンドの特定のデータを除外する機能のアップデートなども含まれています。
アップデートはこちらから。
Titanium Backup root - Google Play の Android アプリ
Android 5.0 Lollipopには、多数の新機能や変更点があります。詳しくはAndroid 5.0 Lollipopの新機能・追加機能・変更点・使い方まとめ。を参照してください。
なおTitanium Backup以外にも、Android 5.0 Lollipopでは正常に動作しないアプリがありますが、Android 5.0 LollipopからAndroid 4.4.4 KitKatにダウングレードして戻す方法もあります。手順はAndroid 5.0 LollipopをダウングレードしてAndroid 4.4.4 KitKatに戻す方法(Nexus5,Nexus7,Nexus4など全Nexusデバイスで利用可)。を参照してください。