Dropboxアプリの手動アップデート方法
新しいDropboxアプリのバージョンは3.0.0となっています。DropboxのアップデートはGoogle Playで可能ですが、確認してみたところまだバージョン2.5.0.4でした。
Dropbox - Google Play の Android アプリ
※現在はマテリアルデザインのバージョンをインストールできます。

「Download」をタップします。

警告が表示されるので「OK」をタップします。

apkファイルのダウンロードが完了したらインストールしていきます。インストール前に設定>セキュリティ>提供元不明のアプリにチェックを入れておきましょう。通知領域からダウンロードしたapkファイル名をタップします。

「インストール」をタップします。

インストールが終わったら「開く」をタップします。

Android版Dropbox v3.0.0の外観
Android版Dropboxアプリは、バージョン3.0.0にアップデートしてUIがマテリアルデザインに全面リニューアルしました。
左上のメニューアイコンをタップするか、左端から中央に向かってスワイプすることでメニューを表示するようになっています。

メニューからフォルダやファイル一覧、お気に入り、通知を確認します。右上の設定アイコンをタップしてDropboxの設定を見てみます。

設定は特に何も変化はありません。

Android版Dropboxは、マテリアルデザインに変更されたことでメニューの場所や操作時のUIが変わっていますが、Android版Dropboxでできることはこれまでと変わりません。
Android版Dropboxの使い方などの詳細はDropbox(ドロップボックス)の使い方。AndroidとPC間でファイルをクラウド同期・共有できる定番アプリ。を参照してください。